Déterminer si un nombre appartient à un intervalle consiste à vérifier qu’il se situe entre les bornes définies, en tenant compte de leur inclusion ou exclusion. Cette compétence fondamentale permet de résoudre inégalités, équations et problèmes concrets avec précision.
Comment identifier si un nombre appartient à un intervalle donné ?
Pour vérifier l’appartenance d’un nombre à un intervalle, il suffit de comparer ce nombre aux bornes et de respecter les règles d’inclusion.
Méthode de vérification par les bornes
📏 Règle générale :
- Pour un intervalle [a,b] : a ≤ x ≤ b
- Pour un intervalle ]a,b[ : a < x < b
- Pour un intervalle [a,b[ : a ≤ x < b
- Pour un intervalle ]a,b] : a < x ≤ b
Exemples concrets avec nombres décimaux et entiers
Exemple 1 : Le nombre 3,7 appartient-il à [3 ; 5] ?
✅ Oui, car 3 ≤ 3,7 ≤ 5
Exemple 2 : Le nombre 2 appartient-il à ]2 ; 8[ ?
❌ Non, car dans un intervalle ouvert, la borne 2 est exclue
Quelle est la différence entre intervalles ouverts, fermés et semi-ouverts ?
La différence réside dans l’inclusion ou l’exclusion des bornes, symbolisée par des crochets ou des parenthèses spécifiques.
Intervalles fermés [a,b] : bornes incluses
🔒 Intervalle fermé [2,6] :
Contient toutes les valeurs de 2 à 6, y compris 2 et 6.
Exemples : 2 ; 3,14 ; 5,99 ; 6
Intervalles ouverts ]a,b[ : bornes exclues
🚫 Intervalle ouvert ]2,6[ :
Contient toutes les valeurs entre 2 et 6, mais ni 2 ni 6.
Exemples : 2,001 ; 3,14 ; 5,99
Intervalles semi-ouverts : une borne incluse, une exclue
Type [a,b[ : inclut a, exclut b
Type ]a,b] : exclut a, inclut b
Comment écrire et représenter un intervalle mathématique ?
La notation des intervalles suit des conventions standardisées utilisant crochets et symboles d’infini pour une communication mathématique précise.
Notation standard des intervalles bornés
| Type | Notation | Condition |
|---|---|---|
| Fermé | [a,b] | a ≤ x ≤ b |
| Ouvert | ]a,b[ | a < x < b |
| Semi-ouvert | [a,b[ ou ]a,b] | a ≤ x < b ou a < x ≤ b |
Intervalles infinis et semi-infinis
Exemples d’intervalles infinis :
- ]-∞,5] : tous les nombres inférieurs ou égaux à 5
- [3,+∞[ : tous les nombres supérieurs ou égaux à 3
- ]-∞,+∞[ : tous les nombres réels (ℝ)
Applications pratiques : de l’inégalité à l’intervalle
Transformer une inégalité en notation d’intervalle simplifie l’analyse et permet des opérations ensemblistes comme les intersections et réunions.
Transformer une inégalité en notation d’intervalle
🔄 Conversions courantes :
- x ≥ 3 → [3,+∞[
- x < 7 → ]-∞,7[
- 2 ≤ x < 9 → [2,9[
- -1 < x ≤ 4 → ]-1,4]
Calcul d’intersection et réunion d’intervalles
Intersection (∩) : valeurs communes aux deux intervalles
[1,5] ∩ [3,8] = [3,5]
Réunion (∪) : ensemble de toutes les valeurs des deux intervalles
[1,3] ∪ [5,7] = [1,3] ∪ [5,7] (non connexes)
FAQ
Comment savoir si un intervalle est inclus dans un autre ?
Un intervalle I₁ est inclus dans I₂ si ses bornes se situent entièrement à l’intérieur de I₂. Par exemple, [3,5] ⊂ [1,8] car 1 ≤ 3 < 5 ≤ 8.
Peut-on avoir un intervalle avec une seule valeur ?
Oui, un intervalle réduit à un point s’écrit [a,a] et ne contient que la valeur a. C’est un cas particulier appelé intervalle dégénéré ou singleton.
Comment noter un intervalle qui exclut une valeur précise ?
On utilise la réunion de deux intervalles : ]-∞,a[ ∪ ]a,+∞[ pour excluer la valeur a de l’ensemble des nombres réels.
Sources :