La propriété Tr(AB) = Tr(BA) est l’une des caractéristiques fondamentales de la trace en algèbre linéaire. Cette égalité remarquable signifie que l’ordre des matrices dans un produit n’affecte pas la trace du résultat, contrairement au produit matriciel lui-même qui n’est généralement pas commutatif.
Qu’est-ce que la trace d’une matrice et pourquoi Tr(AB) = Tr(BA) ?
📐 Définition de la trace en algèbre linéaire
La trace d’une matrice carrée A de dimension n×n correspond à la somme de ses éléments diagonaux : Tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ. Cette opération linéaire ne s’applique qu’aux matrices carrées puisqu’elle nécessite l’existence d’une diagonale principale.
💡 Exemple simple :
Pour A = [2 1]
[3 4]
Tr(A) = 2 + 4 = 6
🔄 Énoncé de la propriété de commutativité de la trace
Pour deux matrices carrées A et B de même dimension, Tr(AB) = Tr(BA) même si AB ≠ BA. Cette propriété se généralise : Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB), permettant une rotation cyclique des facteurs sans modifier la trace.
Comment démontrer que Tr(AB) = Tr(BA) pour des matrices carrées ?
🧮 Démonstration par calcul d’indices
Considérons deux matrices A = (aᵢⱼ) et B = (bᵢⱼ) de dimension n×n. Le terme diagonal d’indice i du produit AB s’écrit :
- (AB)ᵢᵢ = Σⱼ₌₁ⁿ aᵢⱼbⱼᵢ
- (BA)ᵢᵢ = Σⱼ₌₁ⁿ bᵢⱼaⱼᵢ
En calculant les traces :
Tr(AB) = Σᵢ₌₁ⁿ Σⱼ₌₁ⁿ aᵢⱼbⱼᵢ = Tr(BA) = Σⱼ₌₁ⁿ Σᵢ₌₁ⁿ bⱼᵢaᵢⱼ
⚠️ Conditions d’application (matrices carrées vs non carrées)
Cette propriété exige que AB et BA soient toutes deux des matrices carrées. Pour des matrices rectangulaires A(m×n) et B(n×m), seuls AB(m×m) et BA(n×n) ont une trace définie, mais elles ne sont généralement pas égales sauf cas particulier.
Comment appliquer la propriété Tr(AB) = Tr(BA) dans les calculs matriciels ?
🎯 Exemples concrets de simplification
Cette propriété simplifie considérablement les calculs complexes. Par exemple, pour calculer Tr(A²B), on peut réécrire cette expression sous la forme Tr(A·AB) = Tr(AB·A), facilitant parfois les manipulations algébriques selon la forme des matrices impliquées.
✨ Astuce pratique : Dans les calculs de dérivées matricielles ou d’optimisation, cette propriété permet de « faire tourner » les matrices pour isoler le terme recherché.
🔧 Applications dans les changements de base et la similitude
Pour deux matrices similaires A et B = P⁻¹AP, la trace reste invariante : Tr(B) = Tr(P⁻¹AP) = Tr(A·P⁻¹P) = Tr(A). Cette conservation de la trace constitue un invariant fondamental en algèbre linéaire, particulièrement utile pour classifier les transformations linéaires.
Trace et valeurs propres : quels liens avec la propriété Tr(AB) = Tr(BA) ?
La trace d’une matrice égale toujours la somme de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité). Grâce à la propriété Tr(AB) = Tr(BA), cette relation se conserve sous transformations de similitude : si A et B = P⁻¹AP sont similaires, elles ont les mêmes valeurs propres et donc la même trace.
Cette connexion explique pourquoi la trace apparaît naturellement dans le polynôme caractéristique : det(A – λI) = (-1)ⁿ[λⁿ – Tr(A)λⁿ⁻¹ + …], où le coefficient de λⁿ⁻¹ est directement lié à la trace de la matrice.
🎓 Note théorique : Dans l’étude des formes quadratiques et des espaces préhilbertiens, cette propriété garantit que la trace du produit de deux matrices symétriques reste indépendante de l’ordre de multiplication.
FAQ
La propriété Tr(AB) = Tr(BA) est-elle vraie pour toutes les matrices ?
Non, cette propriété ne s’applique qu’aux matrices carrées de même dimension. Pour des matrices rectangulaires, seuls les produits AB et BA qui donnent des matrices carrées peuvent avoir une trace définie.
Quelle est la différence entre la trace d’un produit et la trace d’une somme de matrices ?
La trace d’une somme est additive : Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), tandis que la trace d’un produit suit la propriété de commutativité Tr(AB) = Tr(BA), mais Tr(AB) ≠ Tr(A) × Tr(B) en général.
Comment utiliser Tr(AB) = Tr(BA) pour identifier des matrices semblables ?
Si deux matrices A et B sont semblables (B = P⁻¹AP), alors Tr(A) = Tr(B) car la trace est un invariant de similitude. Cette propriété découle directement de Tr(AB) = Tr(BA).
Sources :