La primitive de ln(1/x) s’obtient en simplifiant d’abord l’expression en -ln(x), puis en appliquant la formule connue. Le résultat final est F(x) = -x(ln(x) – 1) + C pour x > 0.
Quelle est la primitive de ln(1/x) ?
La primitive de ln(1/x) est F(x) = -x(ln(x) – 1) + C où C est une constante d’intégration. Cette formule découle directement de la simplification préalable de l’expression logarithmique.
La formule directe et sa démonstration
En partant de l’intégrale ∫ln(1/x)dx, nous appliquons d’abord la propriété logarithmique : ln(1/x) = -ln(x). L’intégrale devient donc ∫(-ln(x))dx = -∫ln(x)dx. Sachant que la primitive de ln(x) est x(ln(x) – 1), nous obtenons : F(x) = -x(ln(x) – 1) + C.
Vérification par dérivation
Pour vérifier notre résultat, dérivons F(x) = -x(ln(x) – 1). En appliquant la règle du produit : F'(x) = -(ln(x) – 1) – x(1/x) = -ln(x) + 1 – 1 = -ln(x) = ln(1/x) ✅
Comment simplifier ln(1/x) avant de chercher sa primitive ?
Pour simplifier ln(1/x), on utilise la propriété fondamentale des logarithmes : ln(1/x) = ln(1) – ln(x) = 0 – ln(x) = -ln(x). Cette transformation rend le calcul de la primitive beaucoup plus direct.
Transformation en -ln(x)
La règle ln(a/b) = ln(a) – ln(b) s’applique ici avec a = 1 et b = x. Comme ln(1) = 0, nous obtenons immédiatement ln(1/x) = -ln(x). Cette simplification est valable pour tout x > 0.
Application de la formule connue de la primitive de ln(x)
Une fois transformée en -ln(x), l’intégrale devient ∫(-ln(x))dx = -∫ln(x)dx. La primitive de ln(x) étant x(ln(x) – 1), nous multiplions simplement par -1 pour obtenir le résultat final.
💡 Astuce : Retenez que ln(1/x) = -ln(x) est une transformation clé qui simplifie de nombreux calculs d’intégrales et de dérivées.
Quelle est la différence entre la primitive de ln(x) et celle de ln(1/x) ?
Les primitives de ln(x) et ln(1/x) sont opposées : ∫ln(x)dx = x(ln(x) – 1) + C tandis que ∫ln(1/x)dx = -x(ln(x) – 1) + C. Elles partagent le même domaine de définition mais diffèrent par leur signe.
Comparaison des formules
• Primitive de ln(x) : F₁(x) = x(ln(x) – 1) + C
• Primitive de ln(1/x) : F₂(x) = -x(ln(x) – 1) + C
On observe que F₂(x) = -F₁(x) + 2C, ce qui confirme la relation d’opposition entre ces deux fonctions.
Domaines de définition respectifs
Les deux primitives ont le même domaine : x ∈ ]0, +∞[. En effet, ln(x) et ln(1/x) ne sont définies que pour les valeurs strictement positives de x, condition qui se reporte sur leurs primitives respectives.
Comment calculer une intégrale définie avec ln(1/x) ?
Pour calculer ∫ᵃᵇ ln(1/x)dx, on applique la formule F(b) – F(a) avec F(x) = -x(ln(x) – 1). Cette méthode fonctionne pour tout intervalle [a,b] avec 0 < a < b.
Méthode de calcul sur un intervalle donné
Exemple : Calculons ∫₁² ln(1/x)dx
F(x) = -x(ln(x) – 1)
F(2) = -2(ln(2) – 1) = -2ln(2) + 2
F(1) = -1(ln(1) – 1) = -1(0 – 1) = 1
Résultat : ∫₁² ln(1/x)dx = (-2ln(2) + 2) – 1 = 1 – 2ln(2) ≈ -0,386
Valeurs exactes et exemples concrets
Les intégrales définies de ln(1/x) donnent souvent des expressions exactes impliquant des logarithmes. Par exemple :
• ∫₁ᵉ ln(1/x)dx = 0
• ∫₁/₂¹ ln(1/x)dx = 1/2 + ln(2) ≈ 1,193
⚠️ Attention : Vérifiez toujours que l’intervalle d’intégration ne contient pas x = 0, car ln(1/x) n’y est pas définie.
FAQ
La primitive de ln(1/x) est-elle définie pour x négatif ?
Non, comme ln(1/x) n’est définie que pour x > 0, sa primitive suit la même restriction de domaine. Le logarithme népérien n’accepte que les arguments strictement positifs.
Pourquoi utilise-t-on la constante d’intégration C ?
La constante C représente l’ensemble des primitives possibles, car la dérivée d’une constante est nulle. Toute fonction de la forme F(x) + C est une primitive de f(x).
Peut-on appliquer la même méthode pour ln(1/x²) ?
Oui, en simplifiant d’abord ln(1/x²) = -ln(x²) = -2ln(x), puis en appliquant la formule de la primitive de ln(x). Le résultat sera -2x(ln(x) – 1) + C.
Sources :
• Logarithme népérien – Wikipédia
• Integration by Parts – Math is Fun