Pour déterminer l’appartenance d’un nombre x à un intervalle, il faut vérifier si x respecte les conditions définies par les bornes de l’intervalle. La méthode dépend du type d’intervalle : fermé, ouvert ou semi-ouvert.
Comment vérifier si x appartient à un intervalle fermé [a; b] ?
Méthode de vérification avec les inégalités
Pour un intervalle fermé [a; b], x appartient à l’intervalle si et seulement si a ≤ x ≤ b. Les bornes a et b sont incluses dans l’intervalle, ce qui signifie que x peut être égal à a ou à b.
💡 Astuce : Les crochets [ ] indiquent que les bornes sont incluses.
Exemple concret avec bornes incluses
Soit l’intervalle [2; 7]. Le nombre 5 appartient-il à cet intervalle ?
✅ Vérification : 2 ≤ 5 ≤ 7 → Vrai, donc 5 ∈ [2; 7]
✅ Les nombres 2 et 7 appartiennent aussi à l’intervalle car les bornes sont incluses.
Comment savoir si x est dans un intervalle ouvert ]a; b[ ?
Règles d’appartenance pour les bornes exclues
Dans un intervalle ouvert ]a; b[, x appartient à l’intervalle si a < x < b. Les bornes a et b sont exclues, représentées par les parenthèses ou crochets inversés.
Exemple : Pour ]3; 8[, le nombre 3,1 appartient à l’intervalle (3 < 3,1 < 8), mais pas 3 ni 8.
Cas particuliers des intervalles semi-ouverts
Les intervalles semi-ouverts combinent une borne incluse et une exclue :
- [a; b[ : a ≤ x < b (a inclus, b exclu)
- ]a; b] : a < x ≤ b (a exclu, b inclus)
Quelle est la différence entre intervalles ouverts et fermés pour l’appartenance ?
Notation mathématique : crochets vs parenthèses
La notation détermine le type d’appartenance :
| Notation | Type | Condition |
|---|---|---|
| [a; b] | Fermé | a ≤ x ≤ b |
| ]a; b[ | Ouvert | a < x < b |
Impact des bornes sur l’inclusion du nombre
L’inclusion ou l’exclusion des bornes change fondamentalement l’appartenance. Par exemple, pour x = 5 :
- 5 ∈ [5; 10] ✅
- 5 ∉ ]5; 10[ ❌
Comment déterminer l’intervalle d’appartenance avec les opérations d’ensembles ?
Intersection d’intervalles
Pour l’intersection de deux intervalles, x doit appartenir simultanément aux deux intervalles. Si I₁ = [2; 6] et I₂ = [4; 8], alors I₁ ∩ I₂ = [4; 6].
⚠️ Attention : Si les intervalles ne se chevauchent pas, l’intersection est vide (∅).
Réunion d’intervalles et cas des intervalles infinis
La réunion d’intervalles forme un nouvel ensemble. Pour les intervalles infinis comme ]-∞; a] ou [b; +∞[, les règles d’appartenance s’appliquent normalement, mais sans borne d’un côté.
Exemple : x ∈ [3; +∞[ si x ≥ 3.
FAQ
Comment utiliser le symbole d’appartenance ∈ pour vérifier qu’x fait partie d’un intervalle ?
Le symbole ∈ s’écrit « x ∈ I » pour dire « x appartient à l’intervalle I ». On vérifie en testant les inégalités correspondant au type d’intervalle. Si les conditions sont respectées, alors x ∈ I.
Quelle est la règle pour les intervalles du type [a; +∞[ ?
Pour un intervalle [a; +∞[, x appartient à l’intervalle si x ≥ a. La borne inférieure a est incluse (crochet fermé), et il n’y a pas de limite supérieure.
Comment calculer si x appartient à l’intersection de deux intervalles ?
x appartient à l’intersection si x satisfait simultanément les conditions des deux intervalles. Il faut déterminer la zone de chevauchement et vérifier si x s’y trouve.
Sources :