La dérivée de arctan(u) suit la formule u’/(1+u²), où u’ représente la dérivée de la fonction u(x). Cette règle combine la dérivation de la fonction arctangente avec la règle de la chaîne pour traiter les compositions de fonctions.
Quelle est la formule de la dérivée de arctan(u) ?
La formule générale est : d/dx[arctan(u)] = u’/(1+u²)
La règle de dérivation fondamentale
Pour arctan(x), la dérivée directe est 1/(1+x²). Cette formule de base provient de la dérivation inverse de la fonction tangente. Elle constitue le point de départ pour toutes les dérivations plus complexes.
Application avec la règle de la chaîne
Dès qu’on a arctan(u(x)) où u est une fonction de x, on applique la règle de la chaîne. La dérivée devient alors u'(x)/(1+[u(x)]²). Cette extension permet de traiter des cas comme arctan(2x), arctan(x³) ou arctan(ln x).
Comment dériver arctan(u) étape par étape avec des exemples concrets ?
La méthode consiste à identifier la fonction u, calculer sa dérivée u’, puis appliquer la formule u’/(1+u²).
Méthode de calcul avec arctan(x²+1)
Étape 1 : Identifier u = x²+1
Étape 2 : Calculer u’ = 2x
Étape 3 : Appliquer la formule : 2x/[1+(x²+1)²] = 2x/(1+x⁴+2x²+1) = 2x/(x⁴+2x²+2)
Dérivation de arctan(√x) et arctan(ln x)
Pour arctan(√x) : u = √x, u’ = 1/(2√x), donc la dérivée est 1/[2√x(1+x)]
Pour arctan(ln x) : u = ln x, u’ = 1/x, donc la dérivée est 1/[x(1+(ln x)²)]
Pourquoi obtient-on la formule u’/(1+u²) ?
Cette formule découle de la relation inverse entre tangente et arctangente, combinée à la règle de dérivation des fonctions composées.
Démonstration mathématique
Si y = arctan(u), alors tan(y) = u. En dérivant les deux côtés : sec²(y) × dy/dx = du/dx. Or sec²(y) = 1 + tan²(y) = 1 + u². Donc dy/dx = (du/dx)/(1+u²) = u’/(1+u²).
Lien avec la dérivée de la fonction tangente
La dérivée de tan(x) est 1 + tan²(x) = sec²(x). L’arctangente étant la fonction inverse, sa dérivée est l’inverse de celle de tangente, d’où la forme 1/(1+u²) multipliée par u’ selon la règle de la chaîne.
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Les principales erreurs concernent l’oubli de la règle de la chaîne et la confusion avec d’autres fonctions trigonométriques inverses.
Oubli de la règle de la chaîne
❌ Erreur : Écrire que la dérivée de arctan(2x) est 1/(1+4x²)
✅ Correct : La dérivée est 2/(1+4x²) car u’ = 2
Confusion avec d’autres fonctions trigonométriques inverses
Ne pas confondre avec arcsin(u) dont la dérivée est u’/√(1-u²), ou arccos(u) dont la dérivée est -u’/√(1-u²). Chaque fonction inverse a sa propre formule spécifique.
FAQ
Peut-on calculer la dérivée d’arctan(x) sans connaître la règle de la chaîne ?
Oui, pour arctan(x) simple, la dérivée est directement 1/(1+x²), mais dès qu’on a une composition arctan(u(x)), la règle de la chaîne devient indispensable pour obtenir le facteur u’.
À quoi sert cette formule en physique ou ingénierie ?
La dérivée d’arctan(u) intervient dans l’analyse des oscillations, les circuits électriques (calcul de déphasage), et la modélisation d’angles de rotation variables dans les systèmes mécaniques.
Quelle est la dérivée seconde d’arctan(u(x)) ?
La dérivée seconde nécessite de dériver u’/(1+u²) en appliquant la règle du quotient, ce qui donne une expression plus complexe impliquant u » et u’.
Sources :