La primitive de cos²(x) est ∫cos²(x) dx = (x/2) + (sin(2x)/4) + C. Cette intégrale se résout efficacement grâce à l’identité trigonométrique cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, qui transforme une fonction trigonométrique complexe en une forme directement intégrable.
🔍 Quelle est la primitive de cos²(x) et comment la démontrer ?
La formule finale : ∫cos²(x) dx = (x/2) + (sin(2x)/4) + C
Le résultat de l’intégration de cos²(x) est (x/2) + (sin(2x)/4) + C. Cette formule peut sembler complexe au premier regard, mais elle découle logiquement de l’application d’une identité trigonométrique fondamentale.
💡 Astuce : Mémorisez cette formule car elle revient fréquemment dans les exercices d’intégration trigonométrique !
Démonstration étape par étape avec l’identité trigonométrique
Partons de l’identité cos²(x) = (1 + cos(2x))/2. En appliquant cette transformation :
- ∫cos²(x) dx = ∫[(1 + cos(2x))/2] dx
- = (1/2)∫[1 + cos(2x)] dx
- = (1/2)[x + (sin(2x)/2)] + C
- = (x/2) + (sin(2x)/4) + C
🤔 Pourquoi utilise-t-on la formule cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 ?
L’identité de réduction des puissances
Cette identité provient des formules d’Euler et permet de réduire les puissances de fonctions trigonométriques. Elle transforme cos²(x) en une somme de fonctions simples : une constante (1) et une fonction cosinus classique (cos(2x)).
Application pratique pour l’intégration
Sans cette identité, intégrer cos²(x) directement nécessiterait des méthodes plus complexes comme l’intégration par parties répétée. L’identité trigonométrique rend le calcul immédiat et évite les erreurs de calcul courantes.
⚙️ Comment intégrer cos²(kx) avec une constante k ?
Adaptation de la formule générale
Pour ∫cos²(kx) dx, on applique la même méthode en tenant compte du coefficient k. La formule devient : ∫cos²(kx) dx = (x/2) + (sin(2kx)/(4k)) + C.
⚠️ Attention : N’oubliez pas de diviser par k lors de l’intégration de sin(2kx) !
Exemple concret avec cos²(3x)
Calculons ∫cos²(3x) dx :
- cos²(3x) = (1 + cos(6x))/2
- ∫cos²(3x) dx = (1/2)∫[1 + cos(6x)] dx
- = (1/2)[x + sin(6x)/6] + C
- = (x/2) + (sin(6x)/12) + C
🔄 Quelle différence entre primitive de cos(2x) et primitive de cos²(x) ?
Comparaison des deux résultats
Les primitives sont fondamentalement différentes : ∫cos(2x) dx = (sin(2x)/2) + C tandis que ∫cos²(x) dx = (x/2) + (sin(2x)/4) + C. La première ne contient qu’un terme sinusoïdal, la seconde combine un terme linéaire et un terme trigonométrique.
Erreurs fréquentes à éviter
Ne confondez jamais cos(2x) avec cos²(x) ! Ces expressions représentent des fonctions complètement distinctes. cos(2x) est une fonction cosinus d’angle double, tandis que cos²(x) est le carré de la fonction cosinus.
❓ FAQ
Peut-on trouver la primitive de cos²(x) sans utiliser la formule d’angle double ?
Théoriquement oui avec l’intégration par parties, mais la méthode par identité trigonométrique reste la plus directe et efficace pour éviter les calculs laborieux.
Comment écrire la primitive de cos²(x) en fonction de sin(x) et cos(x) ?
En développant sin(2x) = 2sin(x)cos(x), on obtient : ∫cos²(x) dx = (x/2) + (sin(x)cos(x))/2 + C. Cette forme est parfois préférée selon le contexte.
Quelle est la relation entre la dérivée de sin(2x) et cos²(x) ?
La dérivée de sin(2x) est 2cos(2x), ce qui permet de retrouver l’identité cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 utilisée pour l’intégration.