Les formules de dérivées permettent de calculer la pente d’une fonction en chaque point. Ces règles mathématiques essentielles simplifient considérablement les calculs et constituent les fondements de l’analyse différentielle. 📊
Quelles sont les règles de base pour dériver une fonction ?
Les règles fondamentales de dérivation se basent sur trois opérations principales : la somme, le produit et le quotient de fonctions.
Formule de dérivation d’une somme et d’une différence
La dérivée d’une somme égale la somme des dérivées individuelles. Pour deux fonctions f(x) et g(x) :
(f – g)’ = f’ – g’
Exemple : Si f(x) = 3x² + 5x, alors f'(x) = 6x + 5
Comment dériver le produit de deux fonctions (règle du produit)
La règle du produit stipule que la dérivée d’un produit n’égale pas le produit des dérivées :
Exemple : Pour (x²)(sin x), la dérivée est 2x·sin x + x²·cos x
Quelle est la formule de dérivation d’un quotient ?
La règle du quotient s’applique quand une fonction est divisée par une autre :
Comment dériver les fonctions élémentaires ?
Chaque type de fonction possède sa propre formule de dérivation, qu’il est essentiel de mémoriser pour résoudre efficacement les exercices.
Dérivées des fonctions polynomiales et puissances
Les fonctions puissances suivent une règle simple et directe :
- x^n → nx^(n-1)
- Constante → 0
- x → 1
- √x → 1/(2√x)
Formules pour les fonctions exponentielles et logarithmiques
Ces fonctions transcendantes ont des dérivées particulières :
- e^x → e^x (la fonction reste identique !)
- a^x → a^x × ln(a)
- ln(x) → 1/x
- log_a(x) → 1/(x ln a)
Dérivées des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
Les fonctions trigonométriques forment un cycle de dérivation :
- sin(x) → cos(x)
- cos(x) → -sin(x)
- tan(x) → 1 + tan²(x) = sec²(x)
Comment appliquer la règle de la chaîne pour les fonctions composées ?
La règle de la chaîne permet de dériver des fonctions imbriquées les unes dans les autres, situation très fréquente en mathématiques.
Principe et formule de la dérivation en chaîne
Pour une fonction composée f(g(x)), la dérivée s’obtient en multipliant les dérivées successives :
Exemples concrets d’application (racine carrée, fonctions inverses)
Exemple 1 : √(x² + 1)
Dérivée : (1/2) × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1)
Exemple 2 : sin(3x)
Dérivée : cos(3x) × 3 = 3cos(3x)
Tableau récapitulatif des formules de dérivées courantes
Ce tableau synthétise les formules essentielles à retenir absolument pour maîtriser la dérivation.
Fonctions de base et leurs dérivées
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x^n | nx^(n-1) |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
Fonctions hyperboliques et trigonométriques inverses
Ces fonctions plus spécialisées apparaissent fréquemment dans les études supérieures :
- sinh(x) → cosh(x)
- cosh(x) → sinh(x)
- arcsin(x) → 1/√(1-x²)
- arccos(x) → -1/√(1-x²)
FAQ
🔸 Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle avec une base différente de e ?
Pour a^x où a ≠ e, la dérivée est a^x × ln(a). Le logarithme naturel de la base apparaît comme facteur multiplicatif.
🔸 Comment calculer la dérivée d’une fonction qui contient une arccosinus ?
La dérivée d’arccos(u) est -u’/(√(1-u²)), où u’ représente la dérivée de la fonction intérieure u.
🔸 Quelle est la formule pour dériver la fonction hyperbolique sinh(x) ?
La dérivée de sinh(x) est cosh(x). Les fonctions hyperboliques suivent des règles similaires aux fonctions trigonométriques classiques.
Sources :