La fonction arctan u (arc tangente) est la fonction réciproque de la tangente, définie pour tout nombre réel u. Elle permet de retrouver l’angle dont la tangente vaut u, avec un résultat compris entre -π/2 et π/2. Cette fonction est fondamentale en analyse et trigonométrie.
Qu’est-ce que la fonction arctan u et comment la définir ? 📐
La fonction arctan u, notée aussi atan(u) ou tan⁻¹(u), est définie comme l’unique angle θ tel que tan(θ) = u et θ ∈ ]-π/2, π/2[.
Définition mathématique de arctan u
Mathématiquement : arctan u = θ ⟺ tan θ = u et -π/2 < θ < π/2
Représentation graphique de la fonction
La courbe de arctan u présente une forme en « S » étiré, passant par l’origine (0,0) et admettant deux asymptotes horizontales : y = π/2 et y = -π/2.
Comment calculer la dérivée de arctan u ? ⚡
La dérivée de arctan u suit une formule simple et élégante : (arctan u)’ = 1/(1 + u²).
Formule de dérivation directe
Pour f(x) = arctan(x) : f'(x) = 1/(1 + x²)
Dérivée d’une fonction composée arctan(u(x))
Si u = u(x), alors par la règle de dérivation composée :
[arctan(u(x))]’ = u'(x)/(1 + [u(x)]²)
Quelles sont les principales propriétés de arctan u ? 🔍
La fonction arctan u possède plusieurs propriétés remarquables qui facilitent les calculs et la résolution d’équations trigonométriques.
Limites aux bornes et propriété de parité
- Limites : lim(u→+∞) arctan(u) = π/2 et lim(u→-∞) arctan(u) = -π/2
- Parité : arctan(-u) = -arctan(u) (fonction impaire)
- Relation remarquable : arctan(u) + arctan(1/u) = π/2 si u > 0
Comment utiliser les formules d’addition avec arctan ? ➕
Les formules d’addition pour arctan permettent de simplifier des expressions complexes et de résoudre certaines équations.
Formule arctan(u) + arctan(v)
La formule principale est :
arctan(u) + arctan(v) = arctan((u + v)/(1 – uv)) si uv < 1
arctan(1) + arctan(1) = arctan((1+1)/(1-1×1)) = arctan(2/0) = π/2
Car arctan(1) = π/4, donc π/4 + π/4 = π/2 ✓
Cas particuliers utiles
- arctan(1/2) + arctan(1/3) = π/4
- 4×arctan(1/5) – arctan(1/239) = π/4 (formule de Machin)
FAQ 💬
Quelle est la série de Taylor de arctan u ?
La série de Taylor de arctan u converge pour |u| ≤ 1 : arctan(u) = u – u³/3 + u⁵/5 – u⁷/7 + u⁹/9 – … Cette série est particulièrement utile pour les calculs numériques de π.
Comment intégrer la fonction arctan u ?
L’intégrale de arctan u se calcule par intégration par parties : ∫arctan(u)du = u·arctan(u) – ½ln(1+u²) + C. Cette formule est essentielle pour résoudre certaines intégrales complexes.
Quelle différence entre arctan et arctg ?
Aucune différence : arctan et arctg désignent la même fonction. La notation « arctg » est plus courante en français, tandis qu »arctan » est standard en anglais et dans la plupart des calculatrices scientifiques.