La fonction composée arcsin(cos x) se simplifie selon une formule précise : arcsin(cos x) = π/2 – x pour x ∈ [0, π], puis s’étend par périodicité. Cette expression révèle la relation géométrique fondamentale entre sinus et cosinus.
Quelle est la valeur exacte de arcsin(cos x) en fonction de x ?
Sur l’intervalle [0, π], arcsin(cos x) = π/2 – x. Cette formule découle directement de l’identité trigonométrique cos x = sin(π/2 – x).
Formule principale sur l’intervalle [0, π]
Pour démontrer cette relation, utilisons l’identité fondamentale :
cos x = sin(π/2 – x)
Donc arcsin(cos x) = arcsin(sin(π/2 – x)). Puisque π/2 – x ∈ [-π/2, π/2] quand x ∈ [0, π], on obtient directement arcsin(cos x) = π/2 – x.
Extension à tous les réels par périodicité
Pour x quelconque, on ramène d’abord x dans [0, π] par périodicité de 2π, puis on applique la formule. La fonction résultante est périodique de période 2π et oscille entre -π/2 et π/2.
Pourquoi arcsin(cos x) n’est-il pas toujours égal à x ? 🤔
L’arcsinus a une image restreinte à [-π/2, π/2], tandis que x peut prendre n’importe quelle valeur réelle. Cette contrainte impose la transformation π/2 – x.
Contraintes du domaine de l’arcsinus
La fonction arcsinus ne peut renvoyer que des valeurs dans [-π/2, π/2]. Même si cos x peut générer la même valeur pour plusieurs x différents, arcsin ne retourne qu’une seule valeur principale.
Différence entre fonction directe et fonction réciproque
Contrairement à cos⁻¹(cos x) qui vaut x sur [0, π], arcsin(cos x) nécessite une adaptation géométrique. Le passage du cosinus au sinus implique une rotation de π/2 sur le cercle trigonométrique.
Comment tracer le graphe de y = arcsin(cos x) ? 📊
Le graphe ressemble à une fonction en dents de scie, oscillant entre -π/2 et π/2 avec une période de 2π.
Allure générale et période
- Période : 2π
- Amplitude : π (de -π/2 à π/2)
- Forme : segments linéaires alternés de pente +1 et -1
Points remarquables et symétries
Points clés :
- arcsin(cos 0) = π/2
- arcsin(cos π/2) = 0
- arcsin(cos π) = -π/2
Quelle différence entre arcsin(cos x) et arccos(cos x) ?
arccos(cos x) = x sur [0, π] puis se prolonge par valeur absolue, tandis qu’arcsin(cos x) suit la formule π/2 – x avec des discontinuités.
Comparaison des domaines et images
| Fonction | Image | Continuité |
| arccos(cos x) | [0, π] | Continue |
| arcsin(cos x) | [-π/2, π/2] | Discontinue |
Relation mathématique entre les deux fonctions
Les deux fonctions sont liées par : arcsin(cos x) = π/2 – arccos(cos x) sur les intervalles de continuité, illustrant la complémentarité entre sinus et cosinus.
FAQ
Comment calculer la dérivée de arcsin(cos x) ?
La dérivée vaut -sin x / √(1 – cos²x) = -sin x / |sin x| = -sgn(sin x) sur les intervalles où sin x ≠ 0. Cette dérivée présente des discontinuités aux multiples de π.
Quel est le domaine de définition de arcsin(cos x) ?
La fonction est définie sur ℝ tout entier, car cos x ∈ [-1, 1] pour tout x réel, ce qui correspond exactement au domaine de l’arcsinus.
Comment interpréter arcsin(cos x) sur le cercle trigonométrique ?
Sur le cercle, arcsin(cos x) représente l’angle principal dont le sinus vaut cos x, soit géométriquement l’angle obtenu par rotation de π/2 dans le sens trigonométrique.
Sources :
Fonctions trigonométriques réciproques – Wikipédia
Inverse Trigonometric Functions – Math is Fun